浅析高中数学教材向量的引入__墨水学术,论文发表,发表论文,职称

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随着以《大纲》为基础的数学教学实验的推广，随着新的高中数学国家课程标准的研制和教学实验， “向量”进入中学数学的步伐越来越大。在新教材中, 向量已独立成章，新教材之所以增加向量的内容，不仅是因为教材内容的陈旧而增加新的内容以适用形式的需要，更是因为向量是解决问题的有效的思想方法，它为教材增加了新鲜的血液，使得教材体系更加富有活力，更有利于学生思维的发展。

20世纪初，人们把空间性质与向量运算联系起来，使向量成为一套具有优良运算通性的数学体系。向量具有几何形式与代数形式的双重身份，既有明确的几何意义，又能象数一样的运算，从而给了我们一种新的数学方法――向量法。向量把几何从思辨数学化成算法数学，将技巧性解题化成算法解题，是一种简单可行的通法。向量既有几何、代数学中的综合性特点，又具有解析法特点，是一种广泛应用性的方法。作为一名高中教师，为适应高中教材改革的新情况，我进一步研究了引入向量后教材体系发生的变化及向量帮助我们解决的各类问题。

一、  代数中的应用

向量作为一种既有大小，又有方向的量，由于具备数的特征，就成为初等数学中联系函数、三角、数列、不等式等许多重要内容的有力纽带。我们经常通过构造向量，利用向量运算及向量形的特征来处理代数问题，从而拓宽了解题的思路。而要合理巧妙地构造向量，就需要学生熟练掌握向量的有关定义、性质及运算律等。

（1）向量知识在不等式中的应用。

例、设任意实数x、y满足|x|<1,|y|<1,求证：

分析：利用向量数量积的一个重要性质 ，变形为 可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，

即 ：   

（2）向量在三角中的应用

例2:证明

分析：此题若作为“三角”问题来处理，当然也可以证出来，但从题中的数量特征来看，发现这些角都依次相差72°，联想到正五边形的内角关系，由此构造一个正五边形（如图）。

由于                       .

从而它们的各个向量在Y轴上的分量之和亦为 ，故知原式成立。

可见，向量给解题带来了新的思路和新的生机，借助于向量可使学生创作出很多精简优美的解题方法，这无疑可激发学生学习向量的兴趣，促进探索、创新的意识，从而提高分析问题、解决问题的能力。

二、  解析几何中的应用

解析几何是代数与几何的结合点，其核心内容是通过建立直角坐标系，利用代数方法研究曲线性质。向量同样具有这样的特点，因而向量在解析几何中的应用是顺理成章的。在新教材中，由于向量的引入改变了原教材中第一章“直线”有关问题的推导，如平面上两点间距离公式，定比分点坐标公式，平面坐标平移公式等都从解析几何中移到本章，并运用向量法导出，这既是向量法解题的实例，也是新知识的产生。对照老教材，我们不难发现新教材的简洁、明快。同时，把向量用于解析几何解题，可使很多运算不再纷繁复杂。向量在解决垂直、夹角等问题时有它的优越性,而解析几何中此类问题还是比较多见的。

例：过坐标原点O作直线OM、ON分别交y=5x²于M、N两点，直线MN交Y轴于点Q(0,Y₀)。当 MON为锐角时，求y₀的范围。

解：设  ,

依题意　

或

直线MN的方程为

即　

令 ，得

可见使用向量的优越性在于将错综复杂的位置关系演化化为纯粹的代数运算。我们在教学中要让学生了解向量不仅要作为一种知识去学习,更主要的是作为一种方法,一种思想去理解。

三、  立体几何中的应用

高中立体几何主要培养学生的逻辑推理能力与空间想象能力，要求学生能判断点、线、面的位置关系，进行角、距离的计算，很多学生对此感到困难，现行立体几何最大的变化是引进空间向量，空间向量已是立体几何中的重要内容，它改变了以往立体几何中的思维方法和解题方法，利用向量在解决垂直、夹角和距离等问题时有它的优越性,因为用向量来运算避免了繁琐的定性分析，使问题得到了大大简化，

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