用微积分理论证明不等式的方法__墨水学术,论文发表,发表论文,职

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[摘要]微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式．
　　本文总结了利用微积分理论证明不等式的几种方法：导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、定积分理论法.
　　[关键词]不等式导数拉格朗日中值定理泰勒公式
　　
　　一、用导数定义证明不等式法
　　例1:设函数，其中都为实数，为正整数，已知对于一切实数，有，试证：．
　　分析：问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能帮助解决此题，可以看出：．于是问题可以转化为证明．
　　证明：因．则．利用导数的定义得：．由于．
　　所以．即．
　　二．用可导函数的单调性证明不等式法
　　例2：证明不等式：.
　　证明：令，易知在上连续，且有，可知在上严格单调增加，所以由单调性定义可知，即.因此
　　例3：证明：当时，.
　　证明：分别对不等式得两边取对数，有，化简有：
　　.只需证明此不等式成立。设辅助函数，，易知在上连续，也在上连续，因，根据定理，得在上严格单调增加，所以.又由在上连续，且，根据定理可知在上严格单调增加，所以，即，因此，即.
　　三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法
　　例4：证明：当时有.
　　证明：构造辅助函数，则有
　　令，解得，其中只有在区间内，在点连续．因当时，，则在上为减函数；当时，，则在上为增函数；由定理可知，在处取得极小值，即为区间上的最小值，所以当时，有．故即．
　　例5：设，则．
　　证明：将不等式变形为，构造辅助函数，则有，令，则有．当时，，所以单调递减；当时，，则单调递增．因此，由定理可知在时取得极小值，也为最小值．所以当，有，即．
　　四、用中值定理证明不等式法
　　例6：证明：当.
　　证明：构造函数，因在上连续，在上可导，在上满足拉格朗日条件，于是存在，使，因
　　，（）所以.即.
　　例7：设，证明.
　　证明：原不等式等价于，可构造函数，,因均在上连续，在上可导，且，由于，则，所以在上满足柯西中值条件，于是存在，使得，又因
　　有，得到,因此
　　,即.
　　五、用函数的凹凸性证明不等式
　　例8：证明：当时,.
　　证明：不等式等价于：.不等式两边含有相同“形式”：,可设辅助函数.因此原不等式可化为要证.只要证明在上为凸函数，即证在内即可.
　　.则在为凸函数.对任意，有(取).(要使与的系数相同，当且仅当时成立，即).因此.
　　例9：若A,B,C是的三内角，则.
　　分析：不等式左边为的函数的和，考虑构造凸函数.
　　证明（詹森不等式）：令，则.则是上的凸函数,,取，由，得到，由詹森不等式结论得：,因是的三内角，则，可
　　得.即.
　　六、用泰勒公式证明不等式法
　　例10：设函数在上二阶可导，,且，试证明：.
　　证明：根据题设条件，在上二阶可导，可写出函数在处的一阶泰勒公式，并取考察点0或1，利用相应的泰勒公式，对作估计.
　　取，由泰勒公式分别有：
　　.由于，则将以上两式做差，整理得：所以
　　．
　　因此原不等式成立.
　　七、用定积分理论来证明不等式法
　　例11：证明：.
　　证明（利用定积分性质）：当时，，则.因，在上均为连续函数.则在均可导.由定积分性质可知：．
　　例12：设在上连续，且单调递增，试证明.
　　证明：（利用构造变上限辅助函数）：设辅助函数.显然．对，
　　．因为单调递增，则，则单调递增，所以.因此.
　　[参考文献]
　　[1]贺冬冬,程伟健.算术—几何平均不等式在解极限问题中的应用[J].大学数学,200

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